Родился в Красноярске.

В 1999 году - окончил Красноярский государственный университет по специальности «финансы и кредит».

С ноября 1997 года по декабрь 2000 года — главный экономист кредитного отдела, начальник контрольно-ревизионного отдела Главного финансового управления администрации Красноярского края.

С июля 2001 года - был начальником финансового отдела ОАО «Красноярскагропромдорстрой».

В 2002 - 2003 годах — главный специалист отдела финансово-кредитных ресурсов и бюджетной политики, начальник отдела инвестиционных ресурсов и экологии администрации Красноярска.

В 2003 году - назначен заместителем начальника главного финансового управления администрации Красноярского края, в 2005 году — первым заместителем руководителя департамента финансов администрации Красноярского края.

С марта по июль 2007 года — проректор по экономике и финансам Сибирского федерального университета в Красноярске.

С 2007 - 2008 год Котюков занимал должность заместителя губернатора края — руководителя департамента финансов. С июля 2008 года — министр финансов Красноярского края.

С декабря 2008 года по апрель 2010 года - являлся заместителем председателя правительства Красноярского края — министром финансов.

В 2010 - 2012 годах Котюков — директор департамента бюджетной политики в отраслях социальной сферы и науки Министерства финансов Российской Федерации, с мая 2010 — член коллегии Министерства финансов РФ.

В июне 2012 года - был назначен на должность заместителя министра финансов Российской Федерации.

Михаил Котюков является членом наблюдательного совета ГК «Олимпстрой».

Котюков — член экспертной группы «Реформа пенсионной системы» Стратегии 2020 (стратегии социально-экономического развития страны до 2020 года).

С августа 2012 года - член комиссий при президенте РФ по делам инвалидов и ветеранов.

24 октября 2013 года - назначен руководителем Федерального агентства научных организаций.

С 18 мая 2018 года - министр науки и высшего образования