Родился в городе Баку (Азербайджан).

В 1965 году - окончил Школу-студию имени В.И. Немировича-Данченко при МХАТе.

В 1970 году - аспирантуру при кафедре режиссуры во ВГИКе (мастерская Михаила Ромма).

До поступления в институт работал учеником токаря на заводе, на шахте в Воркуте, матросом на водолазном катере в Баку, а также актером вспомогательного состава Астраханского театра имени Кирова.

С 1965 по 1966 год - после окончания школы-студии работал актером драматического театра в Ставрополе.

С 1970 по 1976 годы - работал по договорам на киностудиях «Мосфильм», «Ленфильм» и на Одесской киностудии.

В большом кино в качестве актера Меньшов дебютировал в 1972 году в главной роли в драме Алексея Сахарова «Человек на своем месте».

Режиссерский дебют Меньшова состоялся в 1976 году музыкальным фильмом «Розыгрыш».

В 1978 году начались съемки картины «Москва слезам не верит». За первый год проката фильм посмотрело почти 90 миллионов зрителей, его купили более 100 стран. Мелодрама завоевала призы на многих международных кинофестивалях, создатели фильма получили Государственную премию СССР. В 1981 году Американская академия киноискусства присудила фильму «Оскар».

В 1984 году - снял картину «Любовь и голуби».

С 2009 года - ведет мастерскую во ВГИКе, руководит режиссерской мастерской на Высших курсах режиссеров и сценаристов.

Всего же на счету Меньшова-актера около 100 ролей в кино- и телефильмах, наибольшей известностью среди которых пользовались: «Сказ про то, как царь Петр арапа женил» (1976), «Где находится Нофелет?» (1987), «Собачье сердце» (1988), «Царевич Алексей» (1996), «Ночной дозор» (2004), «Дневной дозор» (2006), сериалы «Диверсант» (2004), «Ликвидация» (2007).

В последние годы им были сыграны роли в фильмах Generation «П» (2011), «Елки-2» (2011), «Легенда №17» (2012), «Мебиус» (2013), сериал «Личные обстоятельства" (2012), «Третья мировая» и других.

Народный артист РСФСР, заслуженный деятель искусств РСФСР (1984). Лауреат Государственной премии РСФСР имени Н.К. Крупской (1978) и Государственной премии СССР (1981).  Награжден российскими орденами «За заслуги перед Отечеством» IV степени и III степени.