Родился в городе Серпухове Московской области.

В 1977 году - после окончания общеобразовательной и музыкальной школ Меньшиков поступил в Московское театральное училище им. Михаила Щепкина (курс Владимира Монахова).

1981 году - после окончания театрального училища, его приняли в труппу Малого театра. 

С 1982 по 1985 год – служба в армии.

В 1985 году - перешел в Московский драматический театр им. М.Ермоловой.

В 1989 году – по приглашению Петра Фоменко играл в Театре имени Моссовета главную роль в спектакле «Калигула» по одноименной пьесе Альбера Камю, за которую актер получил премию и диплом Фестиваля «Московские сезоны».

В 1991 году - сыграл роль Сергея Есенина в спектакле «Когда она танцевала» по пьесе Мартина Шермана в лондонском театре «Глобус», где он играл в дуэте со знаменитой английской актрисой Ванессой Редгрейв. В 1992 году за исполнение этой роли актер был удостоен премии имени Лоуренса Оливье Британской академии театральных искусств.

В 1994 году - снова играл Есенина в спектакле «Когда она танцевала», но уже в постановке парижского Театра комедии на Елисейских полях.

В 1992 году - играл в Лондоне на сцене театра «Трайсекл» в спектакле «Игроки» по Гоголю (роль Ихарева)

В 1993 году - сыграл свою следующую театральную роль в антрепризе «Богис». Спектакль был награжден премией "Хрустальная роза" (1993).

В 1998 году - создал и возглавил антрепризу «Театральное товарищество 814», где в качестве постановщика и актера создал спектакль по пьесе Александра Грибоедова «Горе от ума» (1995), в котором исполнил роль Чацкого.

В своих последующих постановках «Кухня» Курочкина (2000), «Игроки» Гоголя (2001), а также в спектакле «Демон» по Лермонтову в постановке Кирилла Серебренникова (2003) он также играет главные роли. В 2008 году в «Театральном товариществе 814» он поставил моноспектакль по произведению Алессандро Барикко «1900».

Параллельно с театральными работами Олег Меньшиков интенсивно снимается в кино.

Учась на последнем курсе Театрального училища, Меньшиков снялся в фильме Михаила Козакова «Покровские ворота» в главной роли (Костик). Фильм, вышедший на экраны в 1982 году, принес актеру популярность и любовь зрителей.

В 1994 году - снялся в фильме Никиты Михалкова «Утомлённые солнцем», роль в котором стала одной из самый ярких в творческой биографии актера и принесла ему несколько премий: Государственную премию РФ (1996), приз Кинопрессы – «Лучшему актеру года», профессиональную премию за лучшую мужскую роль «Зеленое яблоко – Золотой листок».

В 1998 году - вновь снялся у Никиты Михалкова в фильме «Сибирский цирюльник».

В 2003 году - снялся в английском сериале «Главный подозреваемый», затем были «Золотой теленок» (2005), «Статский советник» (2005), «Доктор Живаго» (2006) и «Утомленные солнцем 2» (2010).

В марте 2010 года - состоялась премьера нового фильма с участием актера -  «О чем говорят мужчины».

С 1998 года - возглавляет Фонд поддержки русской культуры. Он входит в постоянный состав независимого жюри премии в области литературы и искусства «Триумф».

В 2003 году - присвоено звание Народного артиста России (минуя Заслуженного).

4 апреля 2012 года - назначен художественным руководителем Театра им. Ермоловой.